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本文研究了一类四阶非线性Schr?dinger方程初边值问题在任意维空间中的有界性，其结果在研究整体解时是非常重要的。
论文关键词：四阶，非线性Schr?dinger方程，有界性
我们考虑这样一类非线性Schr?dinger方程的初边值问题
|keyimg3|， |keyimg3|， （1.1）
|keyimg3|， 一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性， （1.2）
有界性， ， （1.3）
其中，为复值函数，＆，＆为速降函数空间，四阶，充分光滑，为实数。
方程（1.1）-（1.3）具有特定的物理背景，且在数学理论上是一类非线性发展方程，因此对方程（1.1）-（1.3）的研究具有实际意义和理论意义。
为了研究方程（1.1）-（1.3）整体解的存在唯一性，需要解在空间中的有界性质作为前提。时，文[1～5]研究了方程（1.1）-（1.3）整体解的存在唯一性及渐近性质，文[6～7]讨论了方程（1.1）-（1.3）解的有界性。时，关于方程（1.1）-（1.3）解的有界性的研究，就作者所知还是较少的。本文就时给定初值一定要求前提下，用文[7]的方法得到了方程（1.1）-（1.3）解的有界性。
记号：简记|keyimg3|，一切常数除注明者外，均以表示，且与、无关，且不同地方出现的值可能不同，但为了方便，我们仍以记之，其余记号都是标准的。
2 引理
因在奇维空间中的情形证明过程类似于偶维空间，我们不妨先讨论偶维情况。
引理1 对任意复值函数一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性，如果
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性 （2.1）
那么有
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性。 （2.2）
引理2 设为正的可积函数，为有界区域，则存在只与有关的常数，使得
非线性Schr?dinger方程 （2.3）
成立，其中非线性Schr?dinger方程。
引理3[7] 设四阶，如果
有界性 （2.4）
那么有
非线性Schr?dinger方程 （2.5）
证明 根据复合函数求导法则，知
四阶 （2.6）
其中
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性
可算出
非线性Schr?dinger方程
非线性Schr?dinger方程
|keyimg3|
非线性Schr?dinger方程
在中每一项对求导的阶数与求导因子次数之和等于，并且各导数因子的次数最大为，我们将一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性展开，注意到，展开式中的各项具有下列乘积形式：
有界性 （2.7）
其中，|keyimg3|分别取自非线性Schr?dinger方程的表达式中的某一项，在非线性Schr?dinger方程中的因子的最大个数是1，2，…，r。整理（2.7）式，其形式是
有界性 （2.8）
可以得知
有界性
即
有界性
令四阶，考虑（2.8）式，则（2.6）式化为
有界性
由假设知，四阶（为与无关的常数），因此
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性
则有
非线性Schr?dinger方程
由赫尔特不等式，得
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性 （2.9）
由（2.4）式可知，（2.9）式的右端为与无关的常数，因此有
非线性Schr?dinger方程
根据引理2，有
有界性
因此，非线性Schr?dinger方程。
3 主要结论
定理 如果|keyimg3|有界，并且
四阶；
有界性
那么，方程⑴的解满足
有界性 （3.1）
证明 对（1.1）式两端同时作用，设，有
非线性Schr?dinger方程 （3.2）
即
|keyimg3| （3.3）
对（3.3）式两端同时乘以，并且在上对积分，得
有界性
用分部积分法，得
四阶 （3.4）
取（3.4）式共轭，得
非线性Schr?dinger方程 （3.5）
（3.4）式加上（3.5）式，可得
非线性Schr?dinger方程
也即
非线性Schr?dinger方程 （3.6）
对于有界性，记有界性，则一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性，四阶，
非线性Schr?dinger方程
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性 （3.7）
类似地，对非线性Schr?dinger方程，有
四阶 （3.8）
将（3.7）式，（3.8）式代入（3.6）式，得
四阶
在上积分，得
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性（3.9）
其中，为常数。（3.9）式可写成
有界性
|keyimg3| （3.10）
从（3.10）式看出，右端和是类似的，只须证有界。
由于
一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性 （3.11）
只须证
|keyimg3|
中有界的，其中是上的实参数。由于
有界性 （3.12）
由引理2，引理3知
有界性（与无关） （3.13）
联合（3.12）式和（3.13）式，得
非线性Schr?dinger方程
|keyimg3|
再由引理2，知有界性，回到，
四阶
因此，由（3.10）式以及，得到：|keyimg3|，由于，得|keyimg3|，因此|keyimg3|。
当空间维数是奇数时，证明过程是类似的。不同的是，奇维情形时引理及证明过程中取一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性，最后得四阶，即一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性。由于一类四阶非线性Schr?dinger方程解的|keyimg1|有界性，可得有界性，证毕。
参考文献：
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